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Geometria Espacial

Conceitos primitivos
São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto

retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

Temos que considerar dois casos particulares:

retas perpendiculares:

retas ortogonais:

Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:

Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:

uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

duas retas distintas concorrentes:

duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando .

Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //

Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.

Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que:

se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :

para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :

Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes

c) planos paralelo
Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:

Perpendicularismo entre planos
Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:

Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias

A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:

Ângulos

O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:

Observações:

Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedos

Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Ângulo poliédrico

Sejam n semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos
      Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
        Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

Classificação
      Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro	Planificação	Elementos
Tetraedro		4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro		6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro		8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro		12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro		20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas

Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:

V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2

V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.

Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases:as regiões poligonais R e S
altura:a distância h entre os planos
arestas das bases:os lados ( dos polígonos)
arestas laterais:os segmentos
faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação
Um prisma pode ser:

reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

prisma reto	prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
prisma regular triangular	prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
      No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
      Vejamos um exemplo.
      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:

Área lateral

Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)

Área total

Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

Volume

Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:

Cubo

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo

Considere a figura a seguir:

dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

Área lateral

A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:

AL=4a2

Área total

A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3

Generalização do volume de um prisma

Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano, paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

Vprisma = ABh

Cilindro

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raios r
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r

Classificação do Cilindro

Um cilindro pode ser:
- circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
- circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:

A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Áreas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( AB):área do círculo de raio r

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases

Volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;
portanto seu volume é:

Cilindro eqüilátero

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.

Cone circular

Dado um círculo C, contido num plano

, e um ponto V ( vértice) fora de

, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos

Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

Cone reto

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g2 = h2 + R2

Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

Áreas

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento :

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): área do setor circular

b) área da base (AB):área do circulo do raio R

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base

Volume

Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo:

Pirâmides

Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados do polígono
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
        Veja:

Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

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Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

Assim, temos:

A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

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Volume

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

          Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.
          Vamos estudar os troncos.
Tronco da pirâmide
      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image212.gif

as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas

Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB)

AT =AL+AB+Ab

Volume

O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Tronco do cone

Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:

as bases maior e menor são paralelas;
a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.

Áreas
Temos:
a) área lateral

b) área total

Volume

Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:

Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.